Задача 1.26. В таблице 1.26 приведена реализация выборки из генеральной совокупности. Выполнить группировку. Для определения количества интервалов и их границ применить формулу Стреджесса. Подсчитать количество наблюдений в каждой из групп. Если количество наблюдений в группе меньше 5, то выполнить объединение соседних интервалов. Найти и построить на диаграммах эмпирическую плотность, эмпирическую функцию распределения и полигон. По сгруппированным данным найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии.

Таблица 1.26

Выборка (результаты наблюдений)

37,53

36,03

34,88

34,18

28,55

28,5

35,87

34,58

37,5

36,42

38,65

27,27

38,48

24,94

30,08

36,07

31,09

25,55

22,5

33,81

30,23

39,13

33,36

39,22

25,3

30,85

44,41

40,42

41,4

32,19

27,22

30,65

32,24

28,73

24,72

33,71

38,22

26,43

33,97

27,55

33,43

31,28

41,82

20,69

32,79

28,86

30,03

36,95

35,89

30,24

41,54

33,87

32,13

26,1

32,61

35,26

41,51

27,51

35,99

29,26

33,04

20,06

33,42

29,49

26,72

25,01

37,27

39,38

32,35

22,84

29,28

31,76

24,03

29,74

37,1

35,55

31,96

31,27

32,29

28,67

35,35

23,22

27,2

40,06

28,69

37,06

34,18

27,24

37,09

32,86

34,97

34,44

34,64

31,91

31,74

34,48

26,06

19,78

31,73

25,69

26,24

27,94

37,1

31,9

29,68

41,98

29,6

36,14

25,79

32,17

26,67

31,62

34,57

40,18

35,57

37,08

35,21

36,3

32,95

30,45

32,42

31,6

20,97

30,45

30,9

32,05

32,37

35,4

40,46

28,33

33,61

23,24

30,09

36,63

31,93

33,08

30

32,31

34,6

27,56

34,68

26,45

28,45

30,51

33,55

30,13

30,95

24,95

41,49

28,93

28,94

29,6

27,52

33,92

29,68

37,69

37,13

35,77

30,21

42,46

34,22

35,38

27,59

32,02

38,8

28,5

29,08

30,2

24,97

31,32

36,81

35,33

28,04

19,22

37,65

35,54

37,39

28,77

38,84

29,14

37,33

30,24

22,14

34,88

32,57

24,52

35,6

25,57

32,91

37,98

30,36

35,25

32,84

30,7

18,79

31,63

26,88

29,06

33,63

28,35

35,01

44,12

41,33

33,93

36,45

30,87

33,85

36,5

30,79

20,79

23,54

29,28

32,94

30,04

32,95

25,9

37,39

34,01

33,63

24,69

33,55

23,38

32,82

29,08

36,33

34,72

32,7

27,18

30,01

43,4

25,19

32,64

29,51

35,01

27,77

28,46

34,42

41,01

32,37

33,39

34,15

41,89

30,95

30,45

28,3

33,43

35,87

38,36

36,87

36,89

Задача 2.26. В таблице 2.26 приведена выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины с известным СКО равным 3,4. Для заданного коэффициента доверия 0,9 найти точечную и интервальную оценки математического ожидания случайной величины.

Таблица 2.26

Выборка (результаты наблюдений)

39,67

36,96

43,32

43,97

33,85

38,66

40,74

40,86

38,47

42,57

34,88

38,54

40,54

36,51

41,61

43,55

33,82

35,52

42,83

38,62

35,9

37,64

37,42

37,1

37,17

37,5

44,67

38,7

41,61

39,93

43,06

39,77

43,01

39,57

41,67

36,64

38,55

41,25

35,98

39,24

Задача 3.26. В таблице 3.26 приведена выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины с неизвестным СКО. Для заданного коэффициента доверия 0,9999 найти точечную и интервальную оценки (точную и приближенную) математического ожидания случайной величины.

Таблица 3.26

Выборка (результаты наблюдений)

51,57

52,9

48,13

57,18

57,25

51,4

52,22

62,08

56,71

53,92

59,74

52,16

53,1

54,24

58,52

53,52

56,33

56,35

60,19

54,84

59,34

60,84

52,59

51,6

58,48

Задача 4.26. В таблице 4.26 приведена выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины с неизвестным СКО. Для заданного коэффициента доверия 0,92 найти точечную и интервальную оценки (точную и приближенную) СКО случайной величины.

Таблица 4.26

Выборка (результаты наблюдений)

43,82

35,03

25,37

35,49

51,1

36,07

35,62

27,35

36,44

46,75

37,94

28,59

35,37

32,08

40,86

25,27

29,42

35,1

46,92

33,4

36,12

44,85

46,65

27,01

43

38,34

36,57

22,15

37,6

40,63

31,23

28,84

37,45

28,73

27,14

27,11

36,07

39,67

32,85

32,99

Задача 5.26. Для контроля была отобрана партия изделий объемом 460 штук, причем 137 штук оказались бракованными. Найти точечную и интервальную оценку вероятности брака одного изделия. Коэффициент доверия принять равным 0,9995. Какой минимальный объем выборки (партии) следует взять, чтобы относительная частота бракованных изделий отличалась от вероятности брака не более чем на 1%.

Задача 6.26. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объемом 310 равен 0,64. Найти 99,99% доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Задача 7.26. Контролируемое значение электронного блока - напряжение стабилизации. Его номинальная величина равна 12v. По выборке объемом 39 получено выборочное среднее значение напряжения равное 12,11v. С помощью доверительного интервала проверить гипотезу о равенстве контролируемого  параметра номинальному значению. Уровень значимости принять равным 0,05. Указание. Считать, что выборка получена из нормального распреледения со стандартным отклоненнием равным 0,13v.

Задача 8.26. Контролируемое значение блока управления - температура. Её номинальная величина равна -50С. По выборке объемом 33 получены выборочное среднее и стандартное отклонение температуры равные соответственно -50,43C и 2,60С. С помощью критической области проверить гипотезу о равенстве контролируемого  параметра номинальному значению. Уровень значимости принять равным 0,0005. Указание. Считать что выборка получена из нормального распреледения с неизвестным стандартным отклоненнием.

Задача 9.26. Количество бракованных деталей в партии не должно превышать 5% В результате контроля 140 деталей из этой партии обнаружено 8 бракованных. Можно ли считать, что процент брака превосходит допустимый при уровне значимости 0,02?

Задача 10.26. Паспортная точность (стандартное отклонение) измерения лазерным дальномером равна 0,05м. После ремонта произведена проверка прибора: по результатам 6 замеров получено значение выборочного стандартного отклонения: 0,080м. Проверить гипотезу о значении точности отремонтированного прибора паспортной, при уровне значимости 0,05, если альтернативная гипотеза утверждает:
1) точности до и после ремонта не равны;
2) после ремонта прибор стал точнее;
3) после ремонта прибор стал грубее.

Задача 11.26. По выборке объема 12, извлеченной из нормальной двумерной совокупности, найден выборочный коэффициент корреляции -0,13. При уровне значимости 0,001 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции при  конкурирующей гипотезе - коэффициент корреляции отличен от нуля.

Задача 12.26. На автоматическая линии изготовляются резисторы одного номинала. Из продукции отобрано 8 образцов с выборочной средней равной 37,8ом. После переналадки линии, для контроля вновь отобрали 11 резисторов с выборочной средней равной 37,6ом. Предполагая, что выборки взяты из генеральной совокупности нормально распределенных случайных величин с стандартным отклонением равным 2,5ом., на уровне значимости 0,35 проверить справедливость гипотезы:  номинальные значения сопротивлений в выборках равны, против альтернатив:
1) номинальные значения не равны;
2) номинальное значение во второй выборке меньше, чем в первой.

Задача 13.26. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны 10 и 8, извлеченными из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии равные соответственно 4,93 и 2,37. Для уровня значимости 0,0001 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий для следующих конкурирующих гипотез:
1) генеральные дисперсии не равны;
2) генеральная дисперсия в первой выборке больше генеральной дисперсии во второй выборке;
3) генеральная дисперсия во второй выборке больше генеральной дисперсии в первой.

Задача 14.26. При уровне значимости 0,3 проверить гипотезу о нормальном законе распределения по реализации выборки задачи 1. В качестве параметров теоретического закона распределения взять оценки, полученные в задаче 1.

Задача 15.26. В таблице 15.26 приведены результаты 13 наблюдений над векторной случайной величиной (X, Y). Предполагая, что модель наблюдения имеет вид Y=aX+b, найти:
1) оценки параметров линейной регрессии;
2) оценку коэффициента корреляции;
3) проверить гипотезу о значимости коэффицента корреляции.
Указание: коэффициент значимости принять равным 0,3.

Таблица 15.26

Регрессия

#

X

Y

1

4,581

13,854

2

5,816

12,798

3

3,497

13,202

4

3,534

14,098

5

3,221

15,984

6

4,915

13,037

7

5,514

12,361

8

2,771

15,752

9

3,715

15,097

10

3,6

12,874

11

3,795

13,343

12

3,37

9,139

13

3,302

11,133